Queste note, relative alla prima parte di un corso tradizionale di cristallografia,sono centrate sulle definizioni e sullo studio delle proprietà dei reticoli, vale a dire di sottoinsiemi ordinati di punti di uno spazio affine. I primi due capitoli, riguardanti la definizione e le principali proprietà degli spazi vettoriali e degl ispazi affini, insieme con il quinto e il sesto dedicati alle isometrie e alle proprietà generali dei gruppi, sono in realtà superflui per gli studenti di matematica, che hanno già ampiamente studiato in altri corsi (geometria e algebra) il materiale che vi 'e contenuto; tali capitoli sono stati inclusi qui per completezza, sono da intendersi come riferimento per studenti di altri corsi di laurea, e non riportano la gran parte delle dimostrazioni dei teoremi enunciati, peraltro facilmente reperibili su qualsiasi testo di geometria o di algebra. Nel capitolo 3, particolare enfasi è stata data alle relazioni esistenti tra i reticoli diretto, duale e reciproco, dato il ruolo centrale che queste entità rivestono in ambito cristallografico e nelle interpretazioni fisiche del formalismo. In particolare, la definizione dei vettori della base reciproca attraverso prodotti scalari con i vettori della base diretta richiede certamente l'appartenenza di entrambe le basi allo stesso spazio vettoriale ma, d'altra parte, nelle applicazioni alla fisica dello stato solido e alla teoria della diffrazione si tende ad attribuire una dimensionalità diversa ai due reticoli e ai due spazi in cui sono immersi.Questa situazione non soddisfacente dal punto di vista matematico che, su base fisica, sembra portare alla definizione di uno spazio reciproco distinto da quello diretto,quando matematicamente i due spazi devono necessariamente essere identici,viene risolta passando alla costruzione di uno spazio duale e di un reticolo duale distinti entrambi dalle controparti dirette; l'isomorfismo tra spazi duale e diretto viene poi sfruttato per definire una corrispondenza tra i reticoli duale e reciproco,essendo quest'ultimo immerso nello spazio diretto ,in modo da dare senso alla definizione dei vettori reciproci in termini di prodotto scalare con i vettori della base diretta. Volendo, è possibile trasferire il problema sugli spazi affini, associando lo stesso insieme di punti allo spazio vettoriale diretto per ottenere uno spazio affine diretto, oppure allo spazio vettoriale duale, per ottenere lo spazio affine duale. Ciò può essere formalmente utile per esempio in microscopia elettronica, dove immagini dirette e duali vengono visualizzate sul medesimo insieme di punti.Allo stato attuale, la parte riguardante la simmetria puntuale dei reticoli bidimensionali è stata sviluppata in modo sistematico, mentre lo stesso non è stato fatto relativamente ai reticoli tridimensionali, dove l’approccio non è sistematico e si procede per analogia col bidimensionale. La parte sui gruppi spaziali viene presentata nelle sue linee generali nel capitolo sulla simmetria.Viene quindi esaminata con sistematicit'a la situazione relativamente al caso bidimensionale e si discute, per analogia, il caso dei sistemi tridimensionali.E' stato incluso un capitolo sui reticoli incommensurati, utile come base per affrontare studi pi'u avanzati sulle strutture quasi-cristalline e quasi-periodiche.
